计算题是系统架构设计师综合知识里的”白给分专区“——每年加起来约 8~12 道（计算机系统 56 道、计算机网络 23 道、项目管理 23 道、软件度量/可靠性 12 道），全是套公式的题，会公式就是送分，不会就是一道都拿不到。这篇把五大类高频计算题的公式、解题步骤、典型例题打包在一起，外加一张考前速记公式卡。内容来自开源仓库 PeterGuy326/senior-software-architect-review。回到 软考导览页 看完整专题清单。

一、计算机系统计算（每年 5~6 道，重灾区）

1. Cache 命中率与平均访问时间

  • 平均访问时间 T = h · Tc + (1 − h) · Tm，其中 h = 命中率，Tc = Cache 访问时间，Tm = 主存访问时间。
  • 若题目说”未命中要先访问主存再装入 Cache”，则 T = h · Tc + (1 − h) · (Tm + Tc)（注意题干口径）。
  • 命中率 = 命中次数 / 总访问次数。
  • 映射方式：直接映射（块号 mod Cache 行数）/ 全相联 / 组相联（块号 mod 组数）；替换算法：LRU / FIFO / OPT / 随机。

例：命中率 95%，Cache 周期 10ns，主存周期 100ns → T = 0.95×10 + 0.05×100 = 9.5 + 5 = 14.5 ns。

2. 流水线（指令执行时间 / 吞吐率 / 加速比）

设流水线分 k 段、每段时间 Δt（取最长一段为节拍）、执行 n 条指令：

指标 公式
执行总时间 T = (k + n − 1) · Δt
吞吐率 TP = n / T = n / [(k + n − 1)·Δt]，最大吞吐率 TP_max = 1/Δt
加速比 S = 顺序执行时间 / 流水线时间 = (n·k·Δt) / [(k + n − 1)·Δt] = nk / (k + n − 1)
效率 E = (n·k) / [k·(k + n − 1)] = S / k

注意：各段时间不等时，节拍 Δt 取最慢的那一段；如果题目给的是”取指 2ns、分析 2ns、执行 3ns”，则 Δt = 3ns，且严格说 T = 第一条完整走完(2+2+3) + (n−1)×3。考试中按 (k + n − 1)·Δt 套即可，Δt 用最大段时间。

3. 海明码（校验位数）

  • 设数据位 m 位、校验位 k 位，需满足 2^k ≥ m + k + 1，求最小的 k。
  • 海明码可检测多位错、纠正 1 位错；CRC 检多位错但不纠错；奇偶校验只能检 1 位错、不能纠错。

例：m = 8 → 试 k=4：2^4=16 ≥ 8+4+1=13 ✓；k=3：2^3=8 ≥ 8+3+1=12 ✗。所以最少需要 4 位校验位。

4. 数的表示范围（定点 / 浮点）

  • n 位补码整数范围：−2^(n−1) ~ 2^(n−1) − 1（如 8 位补码：−128 ~ +127）。
  • n 位原码 / 反码：−(2^(n−1) − 1) ~ +(2^(n−1) − 1)（有 +0/−0）。
  • 浮点数：精度由尾数位数决定，表示范围由阶码位数决定；规格化是为了提高精度（尾数最高位为有效位）。

5. 磁盘存取时间

存取时间 = 寻道时间 + 旋转延迟 + 数据传输时间

  • 平均旋转延迟 = 旋转一周时间 / 2（如 7200 rpm → 一周 ≈ 8.33 ms → 平均延迟 ≈ 4.17 ms）。
  • 读取一个扇区/磁道的传输时间 = 数据量 / 传输速率，或 = 旋转一周时间 ×（扇区占整道的比例）。
  • 磁盘调度算法：FCFS / SSTF（最短寻道）/ SCAN（电梯）/ C-SCAN，比较平均寻道距离。

6. 可靠性计算（串联 / 并联 / N 取 K）

结构 系统可靠性 R
串联（任一失效则系统失效） R = R₁ · R₂ · … · Rn（越串越低）
并联（冗余备份） R = 1 − (1−R₁)(1−R₂)…(1−Rn)（越并越高）
混联 先算并联子系统，再当作串联的一环
N 取 K 表决 R = Σ_{i=K}^{N} C(N,i) · R^i · (1−R)^(N−i)

例：3 个可靠度均为 0.9 的部件并联 → R = 1 − (1−0.9)^3 = 1 − 0.001 = 0.999；若串联 → R = 0.9^3 = 0.729。

7. 性能指标 & Amdahl 定律

  • MIPS = 每秒百万条指令 = 指令数 /（执行时间 ×10⁶）= 主频 / CPI ×10⁻⁶；MFLOPS = 每秒百万次浮点运算。
  • 响应时间（从请求到收到首字节）、吞吐量（单位时间完成的事务数）。
  • Amdahl 定律（系统某部分加速对整体的影响）：总加速比 S = 1 / [(1 − f) + f / k]，f = 可优化部分占比，k = 该部分的加速倍数。当 k→∞，S_max = 1 / (1 − f)。

例：某程序 60% 的部分可并行、加速 4 倍 → S = 1 / [0.4 + 0.6/4] = 1 / 0.55 ≈ 1.82 倍。

二、计算机网络计算（每年 2~3 道）

1. 子网划分（IPv4）

  • 主机位 n 位 → 每个子网可用主机数 = 2ⁿ − 2（去掉网络号和广播地址）。
  • 借 m 位主机位做子网 → 可划分 2ᵐ 个子网；新掩码 = 原掩码 + m 位。
  • CIDR 聚合：把多个连续网段合并，取它们二进制的公共前缀长度。

例：192.168.1.0/24 要划 4 个子网 → 借 2 位 → /26（255.255.255.192）→ 子网 .0~.63、.64~.127、.128~.191、.192~.255，每个子网可用主机 = 2⁶ − 2 = 62 个。

2. 数据传输时间 / 带宽

  • 传输时间 ≈ 数据量 / 带宽 + 传播时延（远距离/卫星链路要算传播时延，近距离常可忽略）。
  • 注意单位换算：1 Byte = 8 bit；带宽常以 bps（bit/s）给出，文件大小常以 Byte 给出。
  • 停止-等待协议信道利用率 U = T_发送 / (T_发送 + 2×T_传播 + T_处理)；连续 ARQ 用窗口提高利用率。

例：传 10 MB（= 10 × 8 = 80 Mbit）文件，带宽 100 Mbps，传播时延忽略 → 时间 ≈ 80 / 100 = 0.8 秒。

3. 香农 / 奈奎斯特（偶尔考）

  • 奈奎斯特（无噪声）：极限速率 = 2 × W × log₂N（W 带宽，N 码元状态数）。
  • 香农（有噪声）：极限速率 = W × log₂(1 + S/N)（S/N 为信噪比，注意 dB 与功率比的换算：(S/N)dB = 10·log₁₀(S/N)）。

三、项目管理计算（每年 2~3 道，必拿）

1. 关键路径法（CPM）

参数 含义 / 公式
ES（最早开始） = max(所有前置活动的 EF)；起点活动 ES = 0
EF（最早完成） = ES + 工期
LF（最晚完成） = min(所有后续活动的 LS)；终点活动 LF = 项目工期
LS（最晚开始） = LF − 工期
总时差 TF = LS − ES = LF − EF（活动可拖延而不影响总工期的时间）
自由时差 FF = (后继活动的最早 ES) − 本活动 EF
  • 关键路径 = 从开始到结束耗时最长的路径，也就是总时差 = 0 的活动串成的路径；可能不止一条。
  • 关键路径上任一活动延误，项目工期就延误（除非用赶工/快速跟进）。

解题套路：① 正向算 ES/EF（取 max）→ ② 反向算 LF/LS（取 min）→ ③ TF = LS − ES，TF = 0 的就是关键活动 → ④ 关键路径长度 = 项目最短工期。

2. PERT 三点估算

  • 期望工期 TE = (O + 4M + P) / 6（O 乐观、M 最可能、P 悲观）。
  • 标准差 σ = (P − O) / 6，方差 σ² = [(P − O) / 6]²。
  • 项目总工期期望 = 各关键活动 TE 之和；总方差 = 各关键活动方差之和（标准差 = 总方差开方）。

例：O=4、M=6、P=8 → TE = (4 + 24 + 8)/6 = 6；σ = (8−4)/6 ≈ 0.67。

3. 挣值管理（EVM）

三个基础值：PV（计划值，到当前应完成工作的预算）、EV（挣值，已完成工作的预算 = BAC × 实际完成百分比）、AC（实际成本）。

公式 含义（口诀：偏差用减、指数用除；EV 永远在前）
SV = EV − PV 进度偏差：> 0 进度超前，< 0 落后
CV = EV − AC 成本偏差：> 0 成本节约，< 0 超支
SPI = EV / PV 进度绩效指数：> 1 超前
CPI = EV / AC 成本绩效指数：> 1 节约
EAC = BAC / CPI 完工估算（按当前成本绩效推算总成本）
ETC = EAC − AC 完工尚需成本
VAC = BAC − EAC 完工偏差

例：BAC = 10 万；某检查点计划完成 50%（PV = 5 万），实际完成 40%（EV = 10×40% = 4 万），实际花了 5.5 万（AC = 5.5 万）→ SV = 4 − 5 = −1 万（落后）；CV = 4 − 5.5 = −1.5 万（超支）；SPI = 4/5 = 0.8；CPI = 4/5.5 ≈ 0.73；EAC = 10/0.73 ≈ 13.7 万；ETC ≈ 13.7 − 5.5 = 8.2 万。

4. 成本估算方法（概念题，常和上面一起考）

类比估算（靠历史相似项目）/ 参数估算（靠规模 × 单位成本等公式）/ 自下而上估算（按 WBS 逐项汇总）/ 三点估算（PERT）。

四、软件度量计算（每年约 1~2 道）

1. 功能点（FP）

  • 识别 5 类成分并计数：内部逻辑文件 ILF、外部接口文件 EIF、外部输入 EI、外部输出 EO、外部查询 EQ。
  • 未调整功能点 UFP = Σ(每类成分项数 × 该类权重)（权重按复杂度低/中/高查表）。
  • 调整功能点 AFP = UFP × (0.65 + 0.01 × ∑F)，∑F 是 14 个一般系统特征的影响度之和（05 各，∑F 范围 070，所以调整因子 0.65~1.35）。

2. McCabe 圈复杂度 V(G)

三种等价算法（任选其一，结果相同）：

  • V(G) = 边数 E − 节点数 N + 2
  • V(G) = 判定节点数 P + 1（二元判定）
  • V(G) = 控制流图中封闭区域数 + 1

判定：110 简单易测；1120 中等；21~50 复杂；> 50 不可测、必须重构。圈复杂度也等于独立路径数（基本路径测试用例下限）。

例：某模块控制流图有 11 条边、9 个节点 → V(G) = 11 − 9 + 2 = 4，即至少需要 4 条独立路径的测试用例。

3. 其他常考小公式

  • 缺陷密度 = 缺陷数 / KLOC（千行代码）。
  • COCOMO 基本模型 工作量 PM = a × (KLOC)^b（a、b 按项目类型：组织型/半嵌入型/嵌入型查表）；进度 TDEV = c × PM^d。
  • 测试覆盖强度由弱到强：语句覆盖 < 判定覆盖 < 条件覆盖 < 判定/条件覆盖 < 条件组合覆盖 < 路径覆盖。

五、典型例题（限时自测）

例 1（流水线）：某 5 段流水线，每段耗时 2ns，连续执行 100 条指令，求执行时间与加速比。

T =(5 + 100 − 1)×2 = 104×2 = 208 ns；顺序执行 = 100×5×2 = 1000 ns；加速比 S = 1000 / 208 ≈ 4.8。

例 2（Cache）：访问 1000 次内存，命中 970 次，Cache 周期 5ns、主存周期 60ns（未命中只算访问主存），求命中率和平均访问时间。

命中率 = 970/1000 = 97%；T = 0.97×5 + 0.03×60 = 4.85 + 1.8 = 6.65 ns。

例 3（可靠性）：系统由 A、B 两个子系统串联，A 是两个可靠度 0.9 的部件并联，B 可靠度 0.95，求系统可靠度。

R_A = 1 − (1−0.9)² = 0.99；R_系统 = R_A × R_B = 0.99 × 0.95 = 0.9405。

例 4（关键路径）：活动 A(3)→C(2)，B(4)→C；C→D(5)。求项目最短工期。

路径 A-C-D = 3+2+5 = 10；路径 B-C-D = 4+2+5 = 11 → 关键路径 B-C-D，最短工期 11；A 的总时差 = 11−10 = 1。

例 5（挣值）：BAC = 80 万，进度过半时 PV = 40 万、EV = 32 万、AC = 36 万。判断进度/成本状态并估算 EAC。

SV = 32 − 40 = −8 万（落后）；CV = 32 − 36 = −4 万（超支）；CPI = 32/36 ≈ 0.89；EAC = 80 / 0.89 ≈ 89.9 万（预计超支约 10 万）。

例 6（海明码）：要校验 16 位数据，至少需要多少校验位？

2^5 = 32 ≥ 16 + 5 + 1 = 22 ✓；2^4 = 16 ≥ 16 + 4 + 1 = 21 ✗ → 最少 5 位。

六、考前速记公式卡

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Cache：T = h·Tc + (1−h)·Tm                         命中率 = 命中/总
流水线：T=(k+n−1)Δt   TP=n/T   S=nk/(k+n−1)   E=S/k   Δt 取最慢段
海明码：2^k ≥ m+k+1（求最小 k）  海明纠1检多 / CRC检多不纠 / 奇偶检1
补码范围：−2^(n−1) ~ 2^(n−1)−1
磁盘：存取 = 寻道 + 旋转延迟(转一周/2) + 传输
可靠性：串联 ΠRi  并联 1−Π(1−Ri)
Amdahl：S = 1 / [(1−f) + f/k]    S_max = 1/(1−f)
子网：每子网可用主机 = 2ⁿ−2   借 m 位 → 2ᵐ 个子网
传输时间 ≈ 数据量/带宽 + 传播时延（注意 Byte↔bit）
CPM：ES=max(前EF)  EF=ES+t  LF=min(后LS)  LS=LF−t  TF=LS−ES  关键路径 TF=0 且最长
PERT：TE=(O+4M+P)/6   σ=(P−O)/6   σ²=[(P−O)/6]²
EVM：SV=EV−PV  CV=EV−AC  SPI=EV/PV  CPI=EV/AC  EAC=BAC/CPI  ETC=EAC−AC
功能点：UFP=Σ(项数×权重)   AFP=UFP×(0.65+0.01·∑F)
圈复杂度：V(G)=E−N+2 = 判定数+1 = 区域数+1 = 独立路径数
COCOMO：PM = a·(KLOC)^b

配套速查表：cheatsheets/computer-systems-formulas.md · project-management-calculations.md · software-metrics.md · networking.md。

软考专题系列第 7 篇。计算题是综合知识里最稳的一块——把上面那张公式卡背熟，这 8~12 分基本是囊中之物。同系列：架构评估 ATAM · 架构风格对比 · 微服务与云原生 · 数据库设计 · 消息中间件与缓存 · 法律法规与标准化。完整清单见 软考导览页。发现公式/例题错误欢迎到 仓库 开 issue。